Mathématiques financières et les variables utilisées

Imaginons la situation suivante : vous venez de gagner un lot de 10 000 $ à un tirage quelconque et vous avez le choix de recevoir votre lot immédiatement ou 10 000 $ dans un an. Vous allez tout probablement choisir de recevoir votre lot immédiatement. Sans le savoir, vous appliquez des mathématiques financières et vous réalisez vite que lorsqu’on parle d’argent, on parle inévitablement de temps.

Le simple mot mathématique peut en effrayer plusieurs. Si en plus on lui accole le mot finance, alors là… Mais rassurez-vous. Il ne s’agit pas ici de faire des calculs compliqués, mais plutôt de prendre conscience des différentes variables utilisées en mathématiques financières et d’en comprendre l’importance.

Vous connaissez déjà des principes de mathématiques financières de façon intuitive. Prenons deux exemples :

• Si vous augmentez votre remboursement hypothécaire, vous savez que la période de remboursement sera plus courte. En somme, le nombre de versements que vous devrez effectuer diminuera.
• Si vous avez le choix entre deux institutions financières pour investir 5 000 $ pour cinq ans et que l’une d’elles vous offre un taux supérieur, vous savez qu’avec le taux supérieur, vous encaisserez des montants périodiques plus élevés ou, si vous réinvestissez vos intérêts, que votre placement aura une plus grande valeur à l’échéance.

Un équilibre précaire 

Sur le graphique ci-haut, on peut imaginer une plaque qui repose sur la pointe d’un cône. La plaque est en équilibre, mais un équilibre très précaire. Si une des variables changeait de valeur, il faudrait absolument modifier la valeur d’une autre variable afin de maintenir l’équilibre. C’est sur ce principe que reposent les mathématiques financières. Voyons maintenant plus en détail les différentes variables intervenant dans le maintien de cet équilibre financier.

Les variables

PV[1] : Il s’agit de la valeur actuelle (en anglais : Present Value). C’est la valeur en dollars d’aujourd’hui d’un placement. C’est le prix que vous êtes prêt à payer aujourd’hui pour l’achat d’un titre ou des unités d’un fonds commun de placement. Par exemple, l’action de la société XYZ se négocie présentement à 25 $ sur la Bourse de Toronto et vous considérez qu’il s’agit d’un bon achat. La valeur actuelle de ce titre est donc de 25 $.

FV : Il s’agit de la valeur capitalisée ou valeur future (en anglais : Future Value). C’est la valeur de votre placement à une date donnée dans le futur. Cette valeur peut être certaine si tous les paramètres sont connus à l’avance comme dans le cas d’un dépôt à terme. Par ailleurs, il peut s’agir de la valeur anticipée d’un placement en cas d’incertitude comme le prix que vous espérez avoir à la vente d’une action dans trois ans.

PMT : Versement périodique (en anglais : Payment). Il s’agit du montant périodique que vous recevrez ou que vous devrez débourser selon le cas. Par exemple, sur un dépôt à terme, vous encaisserez des intérêts à chaque année. Dans le cas d’un versement hypothécaire mensuel ou du remboursement mensuel sur un emprunt personnel, il s’agit du montant que vous devrez débourser.

i : Fait référence au taux d’intérêt (en anglais : Interest per year). Il peut s’agir du taux de rendement sur un dépôt à terme, par exemple. Par ailleurs, si vous êtes emprunteur, il s’agit du taux d’intérêt que vous aurez à payer.

n : Le nombre de périodes (en anglais : Number of periods). Le mot période est volontairement vague. Selon le contexte, il peut s’agir du nombre de mois, de trimestres, de semestres ou d’années. Par exemple, dans le cas d’un dépôt à terme avec une échéance de cinq ans et des intérêts à recevoir à chaque année, le nombre de périodes s’élève à cinq. Par ailleurs, si vous devez rembourser un emprunt personnel par des versements mensuels sur une période de trois ans, le nombre initial de périodes se chiffre à 36 (12 versements par année pendant 3 ans).

Début/fin : Vous devez savoir si le versement sera effectué en début de période ou en fin de période (en anglais : Begin/end). L’exemple classique d’un versement de début de période est un loyer. En début de mois, vous payez le droit d’occuper les locaux pendant le mois à venir. Par ailleurs, vous accepterez de payer des intérêts sur un emprunt personnel en fin de période seulement, c’est-à-dire après avoir utilisé les fonds.

Nombre de capitalisations par année : il s’agit du nombre de fois par année que les intérêts s’ajouteront au capital (en anglais : Periods per year). Vous avez le choix entre deux institutions financières : l’une vous offre X % sur votre dépôt à terme avec les intérêts payables annuellement et l’autre vous offre le même pourcentage avec les intérêts payables mensuellement. Selon toute vraisemblance vous allez choisir l’institution qui offre de payer les intérêts mensuellement. Pourquoi? À cause de l’intérêt sur l’intérêt, ce qu’on appelle la capitalisation des intérêts.

Revenons aux deux exemples du début. Dans le premier exemple, en augmentant votre remboursement hypothécaire (PMT), vous diminuez le nombre de périodes pendant lesquelles vous devrez rembourser (n). L’équilibre de notre plaque est maintenu.

Dans le second exemple, pour le placement avec un taux supérieur (i), les montants périodiques à encaisser seront plus élevés (PMT) ou la valeur future (FV) sera plus élevée. Là aussi, l’équilibre précaire de notre plaque a été maintenu.

Conclusion

On applique souvent des mathématiques financières de façon intuitive dans la vie quotidienne. Les mathématiques s’appliquent de la même façon que l’on soit investisseur ou emprunteur. En effet, l’emprunt que vous faites auprès de votre institution financière représente un investissement pour cette institution. Le dépôt à terme que vous prenez auprès de votre institution en tant qu’investisseur représente un emprunt pour l’institution. Lors de vos prochaines discussions financières, sachez que l’équilibre de votre plaque doit être maintenu.